זה די מאתגר להסכים על התמחור המדויק של כל נכס סחיר, גם ביום הנוכחי. לכן מחירי המניות משתנים כל הזמן. במציאות החברה כמעט ולא משנה את הערכת השווי שלה על בסיס יומיומי, אבל מחיר המניה והערכת השווי שלה משתנים כל שנייה. זה מראה את הקושי להגיע להסכמה על מחיר היום הנוכחי עבור כל נכס סחיר, אשר מוביל הזדמנויות arbitrage. עם זאת, אלה הזדמנויות ארביטראז 'הם באמת חיו קצר.
כל זה מסתכם להציג הערכה יום - מהו המחיר הנוכחי הנכון היום תמורת תשואה בעתיד צפוי?
בשוק תחרותי, כדי למנוע הזדמנויות ארביטראז ', נכסים עם מבנים השכר זהה חייב להיות באותו מחיר. הערכת שווי של אופציות היתה משימה מאתגרת, וריאציות גבוהות בתמחור נראות מובילות להזדמנויות ארביטראז '. Black-Scholes נשאר אחד הדגמים הפופולריים ביותר המשמשים אפשרויות תמחור, אבל יש מגבלות משלו. (לקבלת מידע נוסף, ראה: תמחור אפשרויות ). מודל תמחור בינומי אופציה היא שיטה פופולרית נוספת המשמשת אפשרויות התמחור. מאמר זה דן בכמה דוגמאות מקיפות שלב אחר שלב ומסביר את תפיסת הסיכון הניטרלית הבסיסית ביישום מודל זה. (לקריאה בנושא, ראה: לשבור את המודל הבינומי כדי ערך אפשרות ).
מאמר זה מניח את היכרותו של המשתמש עם אפשרויות מושגים ותנאים קשורים.
נניח שיש אפשרות להתקשר במלאי מסוים שמחיר השוק הנוכחי שלו הוא 100 $. את האפשרות כספומט יש מחיר השביתה של 100 $ עם הזמן לפקיעה של שנה אחת. ישנם שני סוחרים, פיטר ופול, שניהם מסכימים כי מחיר המניה יהיה גם לעלות ל 110 $ או ליפול ל 90 $ בשנה אחת. שניהם מסכימים על רמות המחירים הצפויות במסגרת זמן נתונה של שנה אחת, אך לא מסכימים על ההסתברות של המהלך כלפי מעלה (וגם למטה). פיטר סבור כי ההסתברות של מחיר המניה הולך $ 110 הוא 60%, בעוד פול מאמין שזה 40%.
בהתבסס על האמור לעיל, מי יהיה מוכן לשלם יותר מחיר עבור אפשרות להתקשר?
אולי פיטר, כפי שהוא מצפה הסתברות גבוהה של המהלך.
בואו לראות את החישובים כדי לאמת ולהבין את זה. שני הנכסים שבהם תלויה ההערכה הם אפשרות השיחה והמלאי הבסיסי. יש הסכמה בין המשתתפים כי מחיר המניה הבסיסי יכול לנוע מ 100 $ הנוכחי ל 110 $ או 90 $ בשנה אחת, ואין מהלכים מחיר אחר אפשרי.
בעולם ללא ארביטראז ', אם נצטרך ליצור תיק המורכב משני הנכסים האלה (אופציית Call ומניות בסיס) כך שלא משנה היכן המחיר הבסיסי יגיע ($ 110 או $ 90), התשואה נטו על תיק תמיד נשאר אותו הדבר.נניח שאנחנו קונים 'ד' מניות של אופציה אחת וקצרה אחת להתקשר ליצור תיק זה.
אם המחיר יגיע ל -110 דולר, המניות שלנו יהיו בשווי $ 110 * d ואנו נפסיד 10 $ תמורת תשלום קצר. הערך הנקי של התיק שלנו יהיה (110d - 10).
אם המחיר יורד ל 90 $, המניות שלנו יהיה שווה $ 90 * D, אפשרות יפוג חסר ערך. השווי הנקי של תיק ההשקעות שלנו יהיה (90 ד).
אם אנחנו רוצים את הערך של תיק שלנו להישאר זהה, ללא קשר למקום שבו מחיר המניה הבסיסית הולך, אז שווי התיק שלנו צריך להישאר זהה בשני המקרים, i. ה. :
=> (110d - 10) = 90d
=> d = ½
i. ה. אם נרכוש חצי נתח (בהנחה שרכישות שבורות אפשריות), נצליח ליצור תיק כך שערכו יישאר זהה בשתי המדינות האפשריות במסגרת הזמן הנתונה של שנה אחת. (נקודה 1)
ערך תיק זה, המצוין על ידי (90d) או (110d -10) = 45, הוא שנה אחת לאורך הקו. כדי לחשב את הערך הנוכחי שלה, זה יכול להיות מוזלים על ידי שיעור התשואה ללא סיכון (בהנחה 5%).
=> 90d * exp (-5% * 1 שנה) = 45 * 0. 9523 = 42. 85 => ערך נוכחי של התיק
מכיוון שמדובר בתיק של חצי מניות במניות הבסיס עם מחיר השוק $ 100) ו 1 שיחה קצרה, זה צריך להיות שווה הערך הנוכחי מחושב מעל i. ה.
=> 1/2 * 100 - 1 * מחיר שיחה = 42. 85
=> מחיר שיחה = $ 7. 14 ט. ה. מחיר השיחה נכון להיום.
מאז זה מבוסס על ההנחה הנ"ל כי שווי תיק נשאר ללא קשר לאיזה כיוון מחיר הבסיס הולך (נקודה 1 לעיל), ההסתברות לעלות או לזוז מהלך לא משחק כאן תפקיד. התיק נותר ללא סיכון, ללא הבדל מהלכים המחירים הבסיסית.
בשני המקרים (מניחים שהם עולים ל -110 דולר ומטה ל -90 דולר), התיק שלנו הוא נייטרלי לסיכון ומרוויח את שיעור התשואה ללא סיכון.
ומכאן שגם הסוחרים, פיטר ופול, יהיו מוכנים לשלם את אותו $ 7. 14 עבור אפשרות זו שיחה, ללא קשר לתפיסות שונות משלהם של ההסתברויות של מהלכים (60% ו - 40%). ההסתברויות הנתפסות בנפרד אינן ממלאות תפקיד בהערכת האופציות, כפי שניתן לראות בדוגמה שלעיל.
אם נניח כי ההסתברויות הפרטיות משנה, אז היו קיימות הזדמנויות ארביטראז '. בעולם האמיתי, הזדמנויות כאלה ארביטראז 'קיים עם הפרשי מחירים קלים להיעלם בטווח הקצר.
אבל איפה התנודתיות הרבה hyped בכל החישובים האלה, שהוא גורם חשוב (רגיש) גורם המשפיע על תמחור אופציות?
התנודתיות כבר כלולה על ידי אופי ההגדרה של הבעיה. זכור אנו מניחים שני (ורק שניים - ומכאן שמו "בינומי") מדינות של רמות מחיר ($ 110 ו $ 90). התנודתיות משתמעת בהנחה זו ומכאן נכללת באופן אוטומטי - 10% כך או כך (בדוגמה זו).
עכשיו בואו נעשה בדיקת שפיות כדי לראות אם הגישה שלנו נכונה וקוהרנטית עם התמחור הנפוץ של Black-Scholes. (ראה: מודל הערכת האופציות של Black-Scholes ).
להלן צילומי מסך של תוצאות מחשבון תוצאות (באדיבות OIC), אשר תואמת מקרוב עם הערך המחושב שלנו.
למרבה הצער, העולם האמיתי הוא לא פשוט כמו "רק שתי מדינות". ישנן מספר רמות מחיר אשר ניתן להשיג על ידי המניה עד למועד פקיעת.
האם ניתן לכלול את כל הרמות האלה במודל התמחור הבינומי שלנו, המוגבל לשתי רמות בלבד? כן, זה מאוד אפשרי, וכדי להבין את זה, בואו להיכנס קצת מתמטיקה פשוטה.
דילוג על כמה שלבי חישוב ביניים כדי לשמור על סיכומו והתמקדות בתוצאות.
כדי להמשיך הלאה, בואו להכליל בעיה זו ופתרון:
'X' הוא מחיר השוק הנוכחי של המניה ו- X * u 'ו- X * d' הם המחירים העתידיים עבור תנועות למעלה ולמטה ' שנים לאחר מכן. פקטור 'u' יהיה גדול מ -1 כפי שהוא מציין את המהלך ו- 'd' ישקר בין 0 ל- 1. לדוגמה לעיל, u = 1. 1 ו- d = 0. 9.
תמלוגי אפשרות השיחה הם 'P ' ו- 'P dn ' עבור תנועות למעלה ולמטה, בזמן התפוגה.
אם אנחנו בונים תיק של מניות שנרכשו היום וקצר אפשרות אחת, אז אחרי זמן לא:
ערך תיק במקרה של עלייה * s * X * u - P עד
ערך תיק במקרה של מעבר למטה = => s * X * u
= s * X * d dn => s = (< למעלה )) = לא. של מניות לרכישה עבור תיק ללא סיכון הערך העתידי של תיק בסוף שנים 't' יהיה במקרה של עלייה * s * X * u - P למעלה = (< < זה עם הסיכון ללא תשלום שיעור התשואה: זה צריך להתאים את החזקת התיק של מניות 'ב X מחיר, ואת ערך השיחה קצר' ג 'אני. ה. החזקת היום של (s * X - c) צריך להשוות לעיל. פתרון עבור c סוף סוף נותן c: אם אנחנו קצר את הפרמיה Call יש להוסיף לתיקייה לא הגשה. דרך אחרת לכתוב את המשוואה לעיל היא על ידי סידור מחדש של הדברים הבאים: לקיחת q אז משוואה לעיל הופך מחדש את המשוואה במונחים של "q" הציע פרספקטיבה חדשה. "q" יכול להתפרש כעת כהסתברות למהלך מעלה של הבסיס (כמו "q" משויך ל- P למעלה ו- "1 q" משויך ל- < dn ). בסך הכל, משוואה לעיל מייצג את מחיר האופציה היום i. ה. שווי ההיוון של התמורה בתום התקופה. איך זה ההסתברות "q" שונה מההסתברות לעלות או להזיז את המהלך של הבסיס? הערך של מחיר המניה בזמן t = q * X * u + (1-q) * X * d החלפת הערך q ו- reranging, מחיר המניה בזמן t מגיע אל i . ה. בעולם זה מניח של שתי מדינות, מחיר המניה פשוט עולה על ידי שיעור הסיכון החופשי של התשואה, אני. ה. בדיוק כמו נכס ללא סיכון ולכן הוא נשאר עצמאי מכל סיכון.כל המשקיעים אדישים לסיכון לפי מודל זה, וזה מהווה את המודל הנייטרלי. ההסתברות "q" ו- "1-q" ידועות כהסתברויות סיכון נייטרליות ושיטת ההערכה ידועה כמודל הערכת שווי ניטרלי. הדוגמה לעיל יש דרישה אחת חשובה - מבנה השכר בעתיד נדרש עם דיוק (רמה $ 110 ו $ 90). בחיים האמיתיים, בהירות כזו לגבי רמות מחירים המבוססות על שלב אינה אפשרית; אלא המחיר נע באקראי ועשוי להתיישב ברמות מרובות. בוא נרחיב את הדוגמה. נניח כי שני רמות מחיר צעד אפשרי. אנו יודעים את השלב השני של התשלומים הסופיים ואנו צריכים להעריך את האופציה היום (כלומר, בשלב הראשוני) בהיבט לאחור, ניתן לבצע את הערכת השלב הראשון (ב- t = 1) תוך שימוש בתשלומים סופיים בשלב 2 (t = 2), ולאחר מכן באמצעות אלה מחושב השלב הראשון הערכת (t = 1), את ההערכה היום (t = 0) ניתן להגיע באמצעות החישובים לעיל. כדי לקבל תמחור אפשרות ב. 2, payoffs ב 4 ו 5 משמשים. כדי לקבל תמחור עבור לא. 3, payoffs ב 5 ו 6 משמשים. לבסוף, מחושבים מחושב ב 2 ו 3 משמשים כדי לקבל תמחור ב. 1. שים לב כי הדוגמה שלנו מניחה את אותו גורם עבור מעלה (ומטה) לנוע בשני השלבים - u (ד) מוחלים באופן מורכב. הנה דוגמה עובדת עם חישובים: נניח אופציית מכר עם מחיר מימוש $ 110 כרגע מסחר ב $ 100 ו שפג תוקפם בתוך שנה אחת. שיעור שנתי ללא סיכון הוא 5%. המחיר צפוי לעלות ב -20% ולהקטין 15% מדי שישה חודשים. בואו לבנות את הבעיה: כאן, u = 1. 2 ו- d = 0. 85, X = 100, t = 0. 5 באמצעות נוסחה נגזרת מעל , אנו מקבלים q = 0. 35802832 ערך של אפשרות לשים בשלב 2, במצב P up , הבסיס יהיה 100 = * 1. 2 * 1. 2 = $ 144 המוביל P upup = אפס במצב P עדכון , הבסיס יהיה = 100 * 1. 2 * 0. 85 = $ 102 המוביל ל < = $ 8 במצב P dndn , הבסיס יהיה = 100 * 0. 85 * 0. 85 = 72 $. 25 המוביל P dndn = 37 $. 75 p 2 = 0 975309912 * (0) 35802832 * 0 (1-0. 35802832) * 8) = 008970741 באופן דומה, p 3 > 0 = 975309912 * (0) 35802832 * 8 (1-0 35352832) * 37. 75) = 26. 42958924 ומכאן שווי אופציית המכר, p 1 = 0. 975309912 * (0) 35802832 * 5. 008970741+ (1-0 35802832) * 26. 42958924) = $ 18. 29. באופן דומה, מודלים בינומיים מאפשרים אחד לשבור את משך האופציה כולו כדי עוד ועוד שלבים מרובי צעדים / רמות. באמצעות תוכניות מחשב או גיליונות אלקטרוניים ניתן לעבוד אחורה צעד אחד בכל פעם, כדי לקבל את הערך הנוכחי של האפשרות הרצויה. בואו נסכם בדוגמה אחת נוספת, הכוללת שלושה שלבים עבור שווי אופציות בינומי: נניח אפשרות אופציה מסוג אירופי, לאחר 9 חודשים עד פקיעת מחיר השביתה של 12 $ ומחיר הבסיס הנוכחי ב -10 $. נניח סיכון חופשי של 5% לכל התקופות. נניח כל 3 חודשים, המחיר הבסיסי יכול לנוע 20% למעלה או למטה, נותן לנו u = 1. 2, d = 0. 8, t = 0. 25 ו 3 שלב עץ בינומי. הנתונים באדום מצביעים על מחירי הבסיס, ואילו אלה בכחול מצביעים על התמורה של אופציית המכר. הסתברות סיכון ניטרלית q מחושבת ל -0 = 531446. תוך שימוש בערך הנ"ל של ערכי q ו- pay ב- t = 9 חודשים, הערכים המקבילים ב- t = 6 חודשים מחושבים כ: בהמשך, ערכי t = 6, ערכי t = 3 ולאחר מכן ב t = 0 הם: נותן את הערך הנוכחי של אפשרות לשים כמו $ 2. 18, שהוא די קרוב לזה מחושב באמצעות מודל Black-Scholes ($ 2. 3) השורה התחתונה למרות השימוש בתוכנות מחשב יכול לעשות הרבה חישובים אינטנסיביים אלה קל, התחזית של המחירים העתידיים נשאר המגבלה העיקרית של מודלים בינומיים לתמחור אופציות. ככל שהזמן טוב יותר, כך קשה יותר לחזות במדויק את התשלומים בסוף כל תקופה. עם זאת, הגמישות לשלב שינויים כצפוי בתקופות שונות של זמן הוא אחד בתוספת פלוס, מה שהופך אותו מתאים תמחור האופציות האמריקאיות, כולל הערכות מימוש מוקדם. הערכים המחושבים באמצעות המודל הבינומי תואמים היטב את אלו המחושבים ממודלים נפוצים אחרים, כגון Black-Scholes, המציין את התועלת והדיוק של מודלים בינומיים לתמחור אופציות. מודלים תמחור בינומי ניתן לפתח על פי העדפה של סוחר ועובד כחלופה Black-Scholes.
