n ^{] P} = P [1 + i]

n ^{- 1]} כאשר P = מנהל, i = שיעור הריבית השנתית באחוזים, ו- n = מספר תקופות ההרכבה במשך שנה.

בהמשך הדוגמה לעיל, מה יהיה סכום הריבית אם הוא מחויב על בסיס מתחם? במקרה זה, זה יהיה: $ 10, 000 [(1 + 0. 05)

3 ^{- 1] = $ 10, 000 [1. 157625 - 1] = 1 $, 576. 25.} בעוד הריבית הכוללת המשתלמת על פני שלוש שנים של הלוואה זו היא 1 $, 576. 25, בניגוד לריבית פשוטה, סכום הריבית אינה זהה במשך כל שלוש השנים שכן הריבית המורכבת לוקחת בחשבון גם ריבית מצטברת של תקופות קודמות. הריבית שתשולם בסוף כל שנה מוצגת בטבלה שלהלן.

תקופות מתחלפות

בעת חישוב הריבית המורכבת, מספר תקופות ההרכבה יוצר הבדל משמעותי. ככלל, ככל שמספר התקופות המורכבות גבוה יותר, כך גדל סכום הריבית המורכבת. אז עבור כל 100 $ הלוואה על פני תקופה מסוימת, סכום הריבית שנצברה ב -10% בשנה יהיה נמוך יותר מאשר הריבית שנצברה ב 5% חצי שנתי, אשר יהיה, בתורו, להיות נמוך יותר מאשר הריבית שנצברה ב 2.5% ברבעון.

בנוסחה לחישוב ריבית מורכבת, יש להתאים את המשתנים "i" ו- "n" אם מספר תקופות ההרכבה הוא יותר מפעם אחת בשנה.

כלומר, בתוך הסוגריים, "i" צריך להיות מחולק "n", מספר תקופות הרכבה בשנה. מחוץ לסוגריים, "n" צריך להיות מוכפל "t", אורך ההשקעה הכולל.

לכן, עבור 10 שנים הלוואה ב 10%, שם הריבית מורכבת מדי חצי שנה (מספר תקופות הרכבה = 2), אני = 5% (כלומר 10% / 2) ו n = 20 (כלומר 10 x 2).

כדי לחשב את הערך הכולל בריבית מורכבת, תשתמש במשוואה זו:

= [P (1 + i / n)

nt ^{] - P} = P [(1 + i / n>

nt ^{- 1]} כאשר P = קרן, i = שיעור הריבית השנתית באחוזים, n = מספר תקופות ההרכבה בשנה, t = מספר השנים הכולל להשקעה או לְהַלווֹת.

הטבלה הבאה ממחישה את ההבדל כי מספר תקופות הרכבה יכול לעשות עם הזמן עבור הלוואה $ 10, 000 נלקח לתקופה של 10 שנים.

תדר תואם

מאז הכסף הוא לא "חינם", אבל יש עלות במונחים של ריבית לתשלום, זה נובע כי הדולר היום שווה יותר מדולר בעתיד. מושג זה ידוע כערך הזמן של הכסף ומהווה בסיס לטכניקות מתקדמות יחסית, כמו ניתוח תזרים מזומנים (DCF). ההפך של הרכבה נקרא הנחה; ניתן לראות את גורם ההיוון כגומלין של הריבית, והוא הגורם שבו יש להכפיל ערך עתידי כדי לקבל את הערך הנוכחי. (עבור יותר, ראה

הבנת ערך הזמן של הכסף

)

הנוסחאות לקבלת הערך העתידי (FV) והערך הנוכחי (PV) הן כדלקמן: FV = PV (1 + i / n) nt

ו- PV = FV / (1 + i / n)

nt ^{לדוגמה, הערך העתידי של $ 10, 000 מורכב ב- 5% מדי שנה במשך שלוש שנים:} = $ 10, 000 (1 + 0. 05) ³

= $ 10, 000 (1. 157625)

= $ 11, 576. 25. ^{הערך הנוכחי של $ 11, 576 25 $ (1 + 0. 05)}

3

= $ 11, 576. 25 / 1. 157625

= $ 10, 000

הדדי של 1. 157625, אשר שווה 0. 0. 8638376, הוא גורם הנחה במקרה זה. ^{הכלל של 72}

כלל 72 מחשיב את הזמן המשוער שבו ההשקעה יוכפל בשיעור מסוים של תשואה או ריבית "i", והוא נתון על ידי (72 / i). זה יכול לשמש רק עבור הרכבה שנתית.

לדוגמה, השקעה שיש לה שיעור תשואה שנתי של 6% תיכפל ב -12 שנים.

השקעה עם שיעור תשואה שנתי של 8% יוכפל ב -9 שנים.

מתחם הגידול השנתי שיעור (CAGR)

שיעור הצמיחה השנתי מורכב (CAGR) משמש עבור יישומים פיננסיים ביותר הדורשים חישוב של קצב צמיחה אחד על פני תקופה של זמן.

לדוגמה, אם תיק ההשקעות שלך גדל מ -10 $ ל -16,000 $ במשך חמש שנים, מהו CAGR? בעיקרו של דבר, משמעות הדבר היא כי PV = - $ 10, 000, FV = $ 16, 000, nt = 5, ולכן יש לשנות את המשתנה "i". באמצעות מחשבון פיננסי או גיליון אלקטרוני של Excel, ניתן להראות כי אני = 9. 86%.

(שים לב שעל פי אמנת תזרים המזומנים, ההשקעה הראשונית שלך (PV) של $ 10, 000 מוצגת עם סימן שלילי, שכן היא מייצגת תזרים שלילי.ה- PV ו- FV חייבים בהכרח להיות סימנים מנוגדים לפתרון עבור "i" במשוואה לעיל).

Real-Life Applications

שיעור הגידול השנתי המתרכב (CAGR) משמש באופן נרחב לחישוב תשואות על פני תקופות זמן עבור מלאי, קרנות נאמנות ותיקי השקעות. כמו כן נעשה שימוש ב - CAGR כדי לקבוע אם מנהל קרן או מנהל תיקים חרגו משיעור התשואה של השוק על פני תקופה של זמן. לדוגמה, אם מדד השוק מספק תשואה כוללת של 10% על פני תקופה של חמש שנים, אבל מנהל הקרן יש רק תשואה שנתית של 9% על פני אותה תקופה, מנהל יש underperformed את השוק. (גם לבדוק את

מתחם שיעור צמיחה שנתי: מה אתה צריך לדעת

.)

CAGR יכול לשמש גם כדי לחשב את שיעור הצמיחה הצפוי של תיקי השקעות על פני תקופות זמן ארוכות, אשר שימושי עבור כזה חיסכון לגיל פרישה. שקול את הדוגמאות הבאות:

• 1 . משקיע בעל סיכון סיכון שמח עם שיעור תשואה שנתי של 3% על תיק ההשקעות. ההווה שלה 100 $, 000 תיק היה ולכן לגדול ל 180 $, 611 לאחר 20 שנה. לעומת זאת, משקיע סיכון סובלני אשר צופה תשואה שנתית של 6% על תיק שלו יראה $ 100, 000 לגדול ל 320 $, 714 לאחר 20 שנה. 2
• . CAGR ניתן להשתמש כדי להעריך כמה צריך להיות מאוחסן משם כדי לשמור על מטרה מסוימת. זוג המעוניינים לחסוך 50 $, 000 מעל 10 שנים כלפי מטה על תשלום למטה על הדירה יצטרכו לחסוך $ 4, 165 בשנה אם הם מניחים תשואה שנתית (CAGR) של 4% על חסכונותיהם. אם הם מוכנים לקחת קצת סיכון נוסף ולצפות CAGR של 5%, הם יצטרכו לחסוך $ 3, 975 בשנה.

3 . CAGR יכול לשמש גם כדי להדגים את המעלות של השקעה מוקדם יותר מאשר מאוחר יותר בחיים. אם המטרה היא לחסוך 1 מיליון דולר על ידי פרישה בגיל 65, בהתבסס על CAGR של 6%, 25 בן צריך להציל $ 6, 462 בשנה כדי להשיג מטרה זו. בן 40, לעומת זאת, יצטרך לחסוך $ 18, 227, או כמעט פי שלושה הסכום, כדי להשיג את אותה מטרה.

CAGRs גם לצוץ לעתים קרובות בנתונים הכלכליים. לדוגמה, התוצר לנפש בסין גדל מ 193 $ בשנת 1980 ל 6 $, 091 בשנת 2012. מהו הגידול השנתי בתוצר לנפש על פני תקופה זו 32 שנה?קצב הצמיחה "i" במקרה זה עובד על מרשים 11. 4%. נקודות לשקול

ודא שאתה יודע את שיעור התשלום השנתי המדויק (אפר) על ההלוואה שלך, שכן שיטת החישוב ומספר תקופות הרכבה יכולה להשפיע על התשלומים החודשיים שלך. בעוד בנקים ומוסדות פיננסיים יש שיטות סטנדרטיות לחישוב הריבית לתשלום על משכנתאות והלוואות אחרות, החישובים עשויים להשתנות מעט מארץ למדינה. Compounding יכול לעבוד לטובתך כשמדובר ההשקעות שלך, אבל זה יכול גם לעבוד בשבילך בעת ביצוע החזר ההלוואה. לדוגמה, ביצוע חצי תשלום המשכנתא שלך פעמיים בחודש, במקום לבצע את התשלום המלא פעם בחודש, בסופו של דבר קיצוץ תקופת ההפחתה שלך וחוסכת לך כמות משמעותית של עניין.

• Compounding יכול לפעול נגדך אם אתה נושא הלוואות עם שיעורי ריבית גבוהים מאוד, כמו כרטיס אשראי או חוב חנות כלבו. לדוגמה, יתרת כרטיס האשראי של $ 25, 000 שנושאת בריבית של 20% - מורכב חודשי - תביא סך הריבית של 5 $, 485 במשך שנה אחת או 457 $ לחודש.

השורה התחתונה

• קבל את הקסם של הרכבה עובד בשבילך על ידי השקעה קבועה ולהגדיל את התדירות של החזר ההלוואה שלך. היכרות עם המושגים הבסיסיים של ריבית פשוטה ומרוכבת יעזור לך לקבל החלטות פיננסיות טובות יותר, חוסך לך אלפי דולרים והגדלת השווי הנקי שלך לאורך זמן. (כדי ללמוד יותר על שיעורי הריבית, לבדוק את
• מה קובע את הריבית בחשבון שוק הכסף שלי?)