התפלגות רגילה (עקומת פעמון)

ערכות נתונים (כמו גובה של 100 בני אדם, סימנים שהושגו על ידי 45 תלמידים בכיתה, וכו ') נוטים להיות בעלי ערכים רבים בנקודת הנתונים זהה או בתוך אותו טווח. זו הפצה של נקודות נתונים נקרא הפצה עקומה נורמלי או פעמון. לדוגמה, בקבוצה של 100 אנשים, 10 יכול להיות מתחת לגובה 5 מטרים, 65 יכול לעמוד בין 5 ל 5. 5 מטר ו 25 יכול להיות מעל 5. 5 מטר. ניתן לחלק את התפלגות הטווח בין טווחים כדלקמן:

באופן דומה, נקודות נתונים המתוות בגרפים עבור כל קבוצת נתונים נתונה עשויות להידמות לסוגים שונים של חלוקות. שלושה מן הנפוצים ביותר הם משמאל מיושר, ישר מיושר ומחוספס הפצות:

שים לב המגמה האדומה בכל אחד הגרפים האלה. זה בערך מציין את מגמת הפצת נתונים. הראשון, "LEFT מחודשת הפצה", מציין כי רוב נקודות הנתונים נופל בטווח התחתון. בתרשים "RIGHT Aligned Distribution" השני, רוב נקודות הנתונים נמצאות בקצה העליון של הטווח, ואילו האחרון, "Jumbled Distribution", מייצג סט נתונים מעורבים ללא מגמה ברורה.

יש הרבה מקרים שבהם התפלגות נקודות הנתונים נוטה להיות בערך מרכזי, והגרף מראה חלוקה נורמלית מושלמת, מאוזנת באופן שווה בשני הצדדים עם המספר הגבוה ביותר של נקודות נתונים מרוכזים במרכז.

הנה סט נתונים מושלם ומופץ בדרך כלל.

הערך המרכזי כאן הוא 50, אשר יש את המספר הגדול ביותר של נקודות נתונים, והפצה tapers off אחיד כלפי קיצוני סוף ערכים של 0 ו 100, אשר יש את המספר הקטן ביותר של נקודות נתונים. התפלגות נורמלית סימטרי סביב הערך המרכזי עם מחצית הערכים בכל צד.

- <->

הרבה דוגמאות של חיים אמיתיים מתאימים להפצה של עקומת הפעמון:

לזרוק מטבע הוגן פעמים רבות (אמור 100 פעמים או יותר) ותקבל הפצה נורמלית מאוזנת של ראשים וזנבות.

• גלגל זוג קובייה הוגנת פעמים רבות (אמור 100 פעמים או יותר) והתוצאה תהיה התפלגות מאוזנת, נורמלית הממוקדת סביב המספר 7, ומתחדדת באופן אחיד לקראת ערכים קיצוניים של 2 ו -12.
• גובה של אנשים בקבוצה גדולה בגודל וסימנים שהושגו על ידי אנשים בכיתה גם לעקוב דפוסים נורמליים של הפצה.
• במימון, שינויים בערכי היומן
• של שערי מט"ח, מדדי מחירים ומחירי מניות מניחים כי הם מופצים בדרך כלל.היחס למימון והשקעות

לכל השקעה יש שני היבטים: סיכון וחזרה. המשקיעים מחפשים את הסיכון הנמוך ביותר האפשרי עבור התשואה הגבוהה ביותר האפשרית. ההתפלגות הנורמלית מכמתת את שני ההיבטים הללו לפי ממוצע התשואה וסטיית התקן לסיכון.(לקבלת מידע נוסף, ראה:

ממוצע- varariance ניתוח .) ממוצע

או ערך צפוי מחיר מסוים של המניה אומר שינוי יכול להיות 1. 5% על בסיס יומי - כלומר, בממוצע, הוא עולה ב -1% 5. ערך זה הממוצע או הערך הצפוי המסמן החזרה ניתן להגיע על ידי חישוב הממוצע על מערך נתונים גדול מספיק המכיל שינויים היסטוריים מחיר היומי של המניה. ככל שהממוצע גבוה יותר, כן ייטב.

סטיית תקן

סטיית תקן מציינת את הסכום שבו ערכים סוטים בממוצע מהממוצע. ככל שסטיית התקן גבוהה יותר, כך ההשקעה מסוכנת יותר, שכן היא מובילה לאי ודאות רבה יותר.

הנה ייצוג גרפי של אותו:

לפיכך, ייצוג גרפי של התפלגות נורמלית באמצעות סטיית הממוצע וסטיית תקן, מאפשר ייצוג של שני החזרות והסיכון בתוך טווח מוגדר בבירור.

זה עוזר לדעת (ולהיות בטוחים בוודאות) שאם מערך נתונים כלשהו יבצע את דפוס ההתפלגות הנורמלי, המשמעות שלו תאפשר לנו לדעת מה מצפה לצפות, וסטיית התקן תאפשר לנו לדעת שכ -68% הערכים יהיו בסטיית תקן אחת, 95% בתוך 2 סטיות תקן ו -99% מהערכים ייפלו בתוך 3 סטיות תקן. מערך נתונים בעל ממוצע של 1. 5 וסטיית תקן של 1 הוא הרבה יותר מסוכן מאשר מערך נתונים אחר בעל ממוצע של 1. 5 וסטיית תקן של 0. 1.

ידיעת ערכים אלה עבור כל נכס שנבחר (כלומר, מניות, אג"ח ) יגרום למשקיע להיות מודע לתשואות ולסיכונים הצפויים.

קל ליישם את המושג הזה ולייצג את הסיכון והחזרה על מניות בודדות, אג"ח או קרנות, אבל האם ניתן להרחיב את זה לתיק של נכסים מרובים?

אנשים מתחילים לסחור על ידי רכישת מניות בודדות או אג"ח, או להשקיע בקרן נאמנות. בהדרגה, הם נוטים להגדיל את אחזקותיהם ולקנות מספר רב של מניות, קרנות או נכסים אחרים, ובכך ליצור תיק. בתרחיש זה, אנשים בונים את תיקי ההשקעות שלהם ללא אסטרטגיה או הרבה מחשבה תחילה. מנהלי קרנות מקצועיות, סוחרים ועושי שוק עוקבים אחר שיטה שיטתית לבניית תיק ההשקעות שלהם באמצעות גישה מתמטית הנקראת תיאוריית תיק מודרני (MPT), המבוססת על המושג "התפלגות נורמלית". "תורת הפורטפוליו המודרנית

תורת הפורטפוליו המודרנית מציעה גישה מתמטית שיטתית שמטרתה למקסם את התשואה הצפויה של התיק עבור כמות מסוימת של סיכון תיק על ידי בחירת הפרופורציות של הנכסים השונים. לחלופין, הוא מציע גם למזער את הסיכון עבור רמה מסוימת של התשואה הצפויה.

כדי להשיג מטרה זו, הנכסים שייכללו בתיק לא ייבחרו אך ורק על בסיס הכשרון האישי שלהם, אלא על אופן ביצוע כל נכס ביחס לנכסים האחרים בתיק.

בקצרה, MPT מגדיר כיצד להשיג בצורה הטובה ביותר את גיוון תיק עבור התוצאות הטובות ביותר האפשריות: החזרים מקסימליים עבור רמה מקובלת של סיכון או סיכון מינימלי לרמת התשואות הרצויה.

אבני הבניין

ה- MPT היה מושג מהפכני שכזה כאשר הציג את הממציאים שלו זכה בפרס נובל. תיאוריה זו סיפקה בהצלחה נוסחה מתמטית להנחיית גיוון בהשקעה.

גיוון הוא טכניקה לניהול סיכונים, אשר מסיר את "כל הביצים בסל אחד" סיכון על ידי השקעה במניות שאינם מתואמים, מגזרים, או סוגים הנכס. באופן אידיאלי, ביצועים חיוביים של נכס אחד בתיק יבטלו את הביצועים השליליים של נכסים אחרים.

כדי לקבל את התשואה הממוצעת של תיק שיש לו

n

נכסים שונים, מחושב השילוב המשוקלל של תשואות הנכסים המרכיבים. בשל אופי החישובים הסטטיסטיים וההתפלגות הנורמלית, תשואת התיק הכוללת (R p ) מחושבת כדלקמן: _{הסכום (Σ) שבו w} i

הוא משקל יחסי של הנכס i בתיק, R _i הוא החזר (ממוצע) של הנכס i. _{סיכון התיק (או סטיית התקן) הוא פונקציה של מתאמים של הנכסים הכלולים, עבור כל זוגות הנכסים (ביחס זה לזה בצמד). בשל אופי החישובים הסטטיסטיים וההתפלגות הנורמלית, הסיכון הכולל בתיק (Std-dev)} p

מחושב כ: _{כאשר cor-cof הוא מקדם המתאם בין תשואות הנכסים i ו- j, ו - sqrt הוא השורש הריבועי.} זה מטפל בביצועים היחסיים של כל נכס ביחס לזולת.

למרות שמדובר במורכבות מתמטית, המושג הפשוט המיושם כאן כולל לא רק את סטיית התקן של נכסים בודדים, אלא גם את אלה הקשורים זה לזה.

דוגמה טובה זמינה כאן מאוניברסיטת וושינגטון.

דוגמא מהירה

כניסוי מחשבתי, נניח שאנחנו מנהל תיקים שקיבל הון, ומוטל עליו את כמות ההון שיש להקצות לשני נכסים זמינים (A & B), כך שצפוי החזרה היא מקסימלית והסיכון הנמוך ביותר.

יש לנו גם את הערכים הבאים:

R

a

= 0. 175 _R b

= 0. 055 _{(Std-dev) << a} = 0. 258

(9)> ₌ = 0. 115

(Std-dev) _ab = -0. 004875

(Cor-cof) _ab = -0. 164

החל עם הקצאה 50-50 שווה לכל נכס A & B, R _p מחשבת את 0. 115 ו- (Std-dev)

p _{מגיע ל -0. 1323 .השוואה פשוטה מודיעה לנו כי עבור תיק הנכסים הזה 2, התשואה והסיכון נמצאים באמצע הדרך בין ערכים בודדים של כל נכס.} עם זאת, מטרתנו היא לשפר את התשואה של תיק מעבר לממוצע של נכס בודד בלבד ולהקטין את הסיכון כך שהוא נמוך מזה של הנכסים האישיים. _{בואו ניקח עכשיו 1 - 5 הקצאת הון עמדה בנכס A, ו -0. 5 הקצאת הון בנכס ב '(הקצאת הון שלילית פירושה קיצור של מלאי והון שנתקבלו בו נעשה שימוש לרכישת עודף של נכס אחר עם הקצאת הון חיובית, כלומר, אנו מקצרים את מלאי B עבור 0.5 פעמים של הון ושימוש בכסף זה כדי לקנות מלאי A עבור סכום 1. 5 פעמים של הון.)} באמצעות ערכים אלה, אנו מקבלים R

p

כמו 0. 1604 ו (Std-dev) << p

כמו 0. 4005. _{כמו כן, אנו יכולים להמשיך להשתמש במשקלי הקצאה שונים לנכס A & B, ולהגיע למערכות שונות של Rp ו- (Std-dev) p. על פי התשואה הרצויה (Rp), ניתן לבחור את רמת הסיכון המקובלת הטובה ביותר (std-dev) p. לחילופין, ברמת הסיכון הרצויה, ניתן לבחור את התשואה הטובה ביותר האפשרית. כך או כך, באמצעות מודל מתמטי זה של תיאוריית הפורטפוליו, ניתן לעמוד במטרה ליצור תיק יעיל עם השילוב הרצוי של הסיכון והשיבה.} השימוש בכלים אוטומטיים מאפשר אחד בקלות ובמהירות לזהות את הפרופורציות שהוקצו הטוב ביותר שניתן בקלות, ללא צורך בחישובים ידניים ארוכים. _{הגבול היעיל, Capital Capital Assicing Model (CAPM) ותמחור הנכס באמצעות MPT גם להתפתח מאותו מודל הפצה נורמלי והם הרחבה ל- MPT.} האתגרים של MPT (והפצה רגילה הבסיסית):

למרבה הצער, אין מודל מתמטי מושלם ולכל אחד יש מגבלות ומגבלות.

ההנחה הבסיסית כי מחיר המניה חוזר בעקבות הפצה נורמלית עצמה נחקר שוב ושוב. יש הוכחה אמפירית מספקת במקרים שבהם הערכים אינם מצליחים לעמוד בהתפלגות הנורמלית. ביסוס מודלים מורכבים על הנחות כאלה עשוי להוביל לתוצאות עם חריגות גדולות.

מעבר אל תוך MPT, החישובים וההנחות לגבי מקדם המתאם והשונות המשותפת שנותרה קבועה (בהתבסס על נתונים היסטוריים) עשויים שלא להתקיים בהכרח לגבי ערכים צפויים עתידיים. לדוגמה, שוקי האג"ח והבורסה הראו מתאם מושלם בשוק הבריטי בתקופה שבין 2001 ל -2004, כאשר התשואות משני הנכסים ירדו בו זמנית. במציאות, ההפך כבר נצפה על פני תקופות היסטוריות ארוכות לפני 2001.

התנהגות המשקיעים לא נלקח בחשבון זה מודל מתמטי. מסים ועלויות עסקה מוזנחים, אף על פי הקצאת הון שבורה ואפשרות לקיצור נכסים.

במציאות, אף אחת מההנחות הללו אינה נכונה, ופירוש הדבר שהתשואות הפיננסיות הממומשות עשויות להיות שונות באופן משמעותי מהרווחים הצפויים.

השורה התחתונה:

מודלים מתמטיים מספקים מנגנון טוב לכמת כמה משתנים במספרים בודדים וניתנים למעקב. אך בשל מגבלות ההנחות, מודלים עשויים להיכשל. התפלגות נורמלית, המהווה את הבסיס לתורת התיק, עשויה שלא לחול בהכרח על מניות ועל דפוסי מחירים פיננסיים אחרים. לתורת הפורטפוליו כשלעצמה יש הרבה הנחות שיש לבחון אותן בצורה קריטית, לפני קבלת החלטות כספיות חשובות.